derivate come si calcolano

derivate come si calcolano

FONTE:
Superficie topografica:
  • Data una funzione di due variabili, determinati gli infiniti punti mediante la compilazione dalla tabella delle ascisse, ordinate e quote, e rappresentando tali terne sullo spazio cartesiano si viene a formare una superficie tridimensionale chiamata superficie topografica; tale superficie è il grafico della funzione.
  • Di una superficie si distinguono diversi punti, chiamati punti stazionari:
    1. Punti di minimo relativo: sono i punti di minor quota rispetto ad un intorno
  • 2. Punti di minimo assoluto sono i punti di minor quota rispetto a tutta la superficie topografica
  • 3. Punti di massimo relativo sono i punti di massima quota rispetto ad un intorno
  • 4. Punti di massimo assoluto sono i punti di massima quota rispetto a tutta la superficie topografica
  • Per trovare le coordinate dei punti stazionari bisogna determinare le derivate.
    Per parlare di derivate bisogna introdurre il concetto di rapporto incrementale.
    Si definisce rapporto incrementale una frazione che ha al numeratore la funzione incrementata meno la funzione di partenza tutto fratto l’incremento (h) per le (x), (k) per le (y).
    Esistono due tipi di rapporti incrementali: quello rispetto alla x e quello rispetto alla y.
    Il rapporto incrementale rispetto alla x si indica col simbolo Δf/Δx e si ottiene incrementando h alla sola variabile x .
    Il rapporto incrementale rispetto alla y si indica col simbolo Δf/Δy e si ottiene incrementando k alla sola variabile y .
    Calcolando rispettivamente il limite per h→0 o k→0 dei due rapporti incrementali si ottengono le cosiddette derivate parziali prime rispetto alla x o alla y.
    Esistono due tipi di derivate parziali prime:
    • La derivata rispetto alla x, indicata con z’x, uguale al limite del rapporto incrementale rispetto alla x facendo tendere l’incremento h a 0.
    • La derivata rispetto alla y, indicata con il simbolo z’y, uguale al limite del rapporto incrementale rispetto alla y facendo tendere l’incremento k a 0.
    Es.
    Z = 3x – y +1
    I rapporti incrementali servono a calcolare le derivate parziali.
    Le derivate parziali servono a trovare i punti di minimo e di massimo rispetto alla x e alla y.Funzione
    Derivata
    X2
    2x
    x
    1
    5ex
    ex
    Esiste un altro metodo rapido per il calcolo delle derivate parziali
    E tale metodo consiste nell’applicarezione della seguente tabella.
    Ricordiamo che calcolare il limite per h → 0 o k → 0 significa andare a sostituire
    Al posto di h o k il valore 0
    Z=7×2+5xy+2y2+3
    Studio delle derivate seconde
    Dopo aver trovato le coordinate dei punti stazionari attraverso la risoluzione del sistema contenente le due derivate parziali prime, bisogna stabilire se tali punti stazionari sono dei massimi o dei minimi o di sella.
  • Per tale scopo si ricorre alle cosi dette derivate seconde. Per definizione le derivate seconde sono derivate delle derivate prime, cioè si ottengono derivando nuovamente sia z1 x che z1y sia alla variabile x che alla y.
  • Le derivate seconde le indichiamo con i seguenti simboli: z”xx,z”xy,z”yx, z”yy.
    Teorema di Schwarz:
    il teorema afferma che calcolando le derivate seconde rispetto a xy e calcolando le derivate seconde rispetto a yx si ottiene lo stesso risultato e dunque: ”cambiando l’ordine di derivazione il risultato non cambia”.
  • Le derivate seconde sono utilizzate per rilevare le proprietà dei punti stazionari attraverso i seguenti passaggi:
    1. Si calcolano le quattro derivate seconde;
    2. Se le derivate seconde contengono ancora x e y si va a sostituire in esse le coordinate del punto stazionario al posto della x e della y, vanno ad ottenere mediante i calcoli, un solo e ben preciso valore numerico
    3. I valori numerici ottenuti per le quattro derivate seconde vanno inseriti in una specie di tabella “matrici quadrata di ordine secondo”
    l’ordine con cui i quattro valori devono essere inseriti non è casuale ma è necessario che derivate seconde rispetto a xx e a yy devono essere inserite nella diagonale principale, mentre nella diagonale secondaria vanno riportati i due valori uguali per il teorema di Schwarz
    4. Si va a calcolare il valore della matrice, cioè del cosi detto “hessiano” facendo il prodotto tra gli elementi della diagonale principale, il prodotto tra gli elementi della diagonale secondaria. Se l’hessiano risulta negativo, cioè minore di 0 (0) si va a guardare il valore di z”xx: se quest’ultimo è positivo il punto stazionario è di minimo, altrimenti è di massimo.
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